สมบัติการคูณจำนวนเต็ม

การคูณ หมายถึง การบวกจำนวนครั้งละเท่าๆ กัน ผลรวมทั้งหมดเรียก

ว่า ผลคูณหรือผลลัพธ์ โดยใช้ลักษณ์ x แทนการคูณ

มีดอกไม้ 5กำ กำละ 4 ดอก มีดอกทั้งหมดกี่ดอก

มีดอกไม้ทั้งหมด 4 4 4 4 4=20 ดอก

4 4 4 4 4 เขียนในรูปของการคูณดังนี้ 5 x 4 นั่นคือ 4 4 4 4 4 =5 x 4

สมบัติการคูณ

1. สมบัติปิด

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a x b เป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่าง     3 x 7  =  21   เป็นจำนวนเต็มบวก        

2. สมบัติการสลับที่

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a x b = b x a  

ตัวอย่าง           4 x 8   =   8 x 4   =   32   

25 x 10 = 10 x 25 = 250

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้

  ถ้า a,b และc เป็นจำนวนใดๆ แล้ว a x (b x c) = (a x c) 
                               ตัวอย่าง(8 x 6) x 4 = 48 x 4   = 192 
                                             8 x (6 x 4)= 8 x 24   = 192 

4. สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)           

(b + c) x a = (b x a) + (b x c)           

ตัวอย่างที่ 7      3x (5+6)   =  (3 x 5 ) + ( 3 x 6 )  =  33

               ( 4 + 9 ) x 5 = ( 4 x 5 ) + ( 9 x 5 ) = 20 + 45  =  65

ที่มา :http://tc.mengrai.ac.th/kruawan/index6.htm

         http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/6467-00/

         วัน พุธที่ 21 เดือน สิงหาคม พ.ศ.2556

หน่วยการวัดพื้นที่ที่สำคัญ ที่ควรรู้จัก

หน่วยการวัดพื้นที่ในระบบเมตริก

                1              ตารางเซนติเมตร                 เท่ากับ    100         หรือ        ₁₀2           ตารางมิลลิเมตร

                1              ตารางเมตร                        เท่ากับ    10,000   หรือ        ₁₀4           ตารางเซนติเมตร

                1              ตารางกิโลเมตร                   เท่ากับ    1,000,000 หรือ    ₁₀6           ตารางเซนติเมตร

หน่วยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษ

                1              ตารางฟุต                           เท่ากับ    144         หรือ        ₁₂2           ตารางนิ้ว

                1              ตารางหลา                          เท่ากับ    9              หรือ        ₃2            ตารางนิ้ว

                1              เอเคอร์                              เท่ากับ    4, 840     ตารางหลา

                1              ตารางไมล์                          เท่ากับ    640         เอเคอร์

หรือ           1              ตารางไมล์                         เท่ากับ    _{1, 760}2       ตารางหลา

หน่วยการวัดพื้นที่ในมาตราไทย

                100         ตารางวา                              เท่ากับ    1              งาน

                4              งาน                                  เท่ากับ    1              ไร่

หรือ        400         ตารางวา                                เท่ากับ    1              ไร่

หน่วยการวัดพื้นที่ในมาตราไทยเทียบกับระบบเมตริก

                1              ตารางวา                            เท่ากับ    4              ตารางเมตร

                1              งาน                                  เท่ากับ    400         ตารางเมตร

หรือ           1              ไร่                                   เท่ากับ    1, 600     ตารางเมตร

                1              ตารางกิโลเมตร                   เท่ากับ    625         ไร่

หน่วยการวัดพื้นที่ในระบบอังกฤษกับระบบเมตริก ( โดยประมาณ )

                1              ตารางนิ้ว                           เท่ากับ    6.4516   ตารางเซนติเมตร

                1              ตารางฟุต                          เท่ากับ    0.0929   ตารางเมตร

                1              ตารางหลา                         เท่ากับ    0.8361   ตารางเมตร

                1              เอเคอร์                              เท่ากับ    4046.856 ตารางเมตร ( 2. 529 ไร่ )

                1              ตารางไมล์                          เท่ากับ    2.5899   ตารางกิโลเมตร

ที่มา : http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/20429/
วันพุธที่ 21 เดือนสิงหาคม พ.ศ.2556

ความน่าจะเป็น (Probability)

ความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็น คือ ค่าที่ใช้ประเมินสถานการณ์ที่ยังไม่เกิดขึ้น โดยพิจารณาว่า เมื่อถึงเวลาเกิดเหตุการณ์แล้ว จะเกิดในลักษณะใด มีโอกาสที่จะเกิดมากน้อยเพียงใด การหาค่าความน่าจะเป็น จะต้องหาจากการทดลองสุ่มเท่านั้น แซมเปิลสเปซ (Sample Space ) แซมเปิลสเปซ คือเซตของเหตุการณ์ทั้งหมดจากการทดลอง (Universal Set) เช่น การโยนลูกเต๋าถ้าต้องการดูว่าหน้าอะไรจะขึ้นมาจะได้ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } แซมเปิลพ้อยท์ (Sample Point) แซมเปิลพ้อยท์ (Sample Point) คือ สมาชิกของแซมเปิลสเปซ (Sample Space ) เช่น S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } จะได้แซมเปิลพ้อยท์คือ 1 ถึง 6 เหตุการณ์ (Event) เหตุการณ์ คือ เซตที่เป็นสับเซตของ Sample Space เป็นเหตุการณ์ที่เราสนใจ จากการทดลองสุ่ม การทดลองสุ่ม (Random Experiment) การทดลองสุ่มคือ การกระทำที่เราทราบว่าผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นมีอะไรบ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่าจะเกิดผลอะไรจากผลทั้งหมดที่เป็นไปได้เหล่านั้น การหาค่าความน่าจะเป็น ให้ S เป็นแซมเปิลสเปซ ที่ซึ่ง มีเหตุการณ์ทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ n(S) และ E เป็นเหตุการณ์ที่เราสนใจ ซึ่ง E ฬS ให้ P(E) เป็นค่าน่าจะเป็นที่จะเกิดโอกาส E

การทดลองสุ่ม คือการทดลองที่ผลลัพธ์อาจจะเกิดขึ้นได้แตกต่างกันหลายอย่าง
แต่เราไม่ทราบว่าผลลัพธ์ใดจะเกิดขึ้น

ตัวอย่างที่ 4.1
1. การโยนเหรียญขึ้นไปในอากาศ ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าเหรียญจะหงายหัวหรือก้อย

2. การทอดลูกเต๋าลงในถ้วย ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าลูกเต๋า
หงายหน้าอะไร

3. การหยิบไพ่หนึ่งใบจากไพ่สำรับหนึ่ง ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะเรายังไม่ทราบว่าจะได้ไพ่ใด
4. การวิ่งแข่งขัน ถือว่าเป็นการทดลองสุ่ม เพราะแต่ละคนมีโอกาสชนะแต่เราไม่ทราบว่าเป็นใคร

แซมเปิลสเปซ(Sample Space) คือเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม และเป็นสิ่งที่เราสนใจ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ จากความหมายของแซมเปิลสเปซ แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตาม ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกในแซมเปิลสเปซทั้งสิ้น ตัวอย่างที่ 4.2การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ 1 เหรียญ ถ้าเราสนใจหน้าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ หัว หรือ ก้อย ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้ คือ S={หัว, ก้อย} ตัวอย่างที่ 4.3 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้ม ของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6 ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6} ตัวอย่างที่ 4.4จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอดลูกเต๋า 2 ลูก 1. จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น 2. จงหาแซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า วิธีทำ 1. เนื่องจากโจทย์สนใจแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ดังนั้นเราต้องเขียนแต้มของลูกเต๋าที่มีโอกาสที่จะหงายขึ้นมาทั้งหมด และเพื่อความสะดวกให้ (a,b) แทนผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้น โดยที่ a แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกแรก b แทนแต้มที่หงายขึ้นของลูกเต๋าลูกที่สอง ดังนั้นแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มคือ S={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} 2.เนื่องจากโจทย์สนใจผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า ดังนั้นเราต้องเขียนผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้ทั้งหมด จะได้แซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋าทั้ง 2 ลูก คือ {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ตัวอย่างที่ 4.5ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีขาว 1 ลูก ถ้าเราหยิบลูกบอลออกจากกล่องมา 1 ลูก โดยวิธีสุ่ม 1. จงหาแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่จะเกิดขึ้น 2. จงหาแซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาได้ วิธีทำ 1.เนื่องจากโจทย์สนใจสีของลูกบอลที่จะหยิบมาได้ ดังนั้นแซมเปิลสเปซของสีของลูกบอลที่หยิบได้คือ S={สีแดง,สีขาว} 2.เนื่องจากโจทย์สนใจลูกบอลที่จะหยิบมาได้ ซึ่งมีทั้งหมด 3 ลูก สมมติให้เป็น แดง1 แดง2 ขาว1 ดังนั้นแซมเปลิสเปซของลูกบอลที่หยิบออกมาคือ S = {แดง1,แดง2, ขาว1} เหตุการณ์(event) คือสับเซตของแซมเปิลสเปซ เรานิยมใช้ A, B, C, D, E, ... เป็นสัญลักษณ์แทน เหตุการณ์ ข้อควรสนใจ เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ ดังนั้น เซตว่าง ก็คือ เหตุการณ์ ๆ หนึ่ง เช่นเดียวกัน ตัวอย่างที่ 4.6 มีบัตรอยู่ 10 ใบซึ่งแต่ละใบมีหมายเลข 1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10 ตามลำดับ สุ่มหยิบบัตรมา 2 ใบพร้อมกันจงหาเหตุการณ์ที่ผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบเป็นจำนวนคู่ วิธีทำ คำว่าสุ่มหยิบบัตรมา 2 ใบ หมายถึง หยิบโดยไม่ดู หรือไม่เห็นว่าแต่ละใบหมายเลขอะไร ซึ่งลักษณะการหยิบโดยสุ่มแบบนี้ เราถือว่าเป็นการทดลองสุ่มเพราะเราไม่ทราบผลลัพธ์ล่วงหน้า เนื่องจากโจทย์ต้องการให้หาผลรวมของหมายเลขบนบัตร ดังนั้นแซมเปิลสเปซก็ต้องประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบ ที่สามารถเกิดขึ้นได้ทั้งหมด นักเรียนจะพบว่าผลรวมของหมายเลขจะมีค่าน้อยที่สุดเมื่อได้บัตร หมายเลข 1 และ 2 ซึ่งผลรวมเท่ากับ 3 และผลรวมจะมีค่ามากที่สุดเมื่อได้บัตรหมายเลข 9 และ 10 ซึ่งผลรวมเท่ากับ 19 แสดงว่าแซมเปิลสเปซ S จะมีลักษณะดังนี้ S = {3, 4, 5, 6,…,17, 18, 19} สมมติให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ผลรวมของหมายเลขบนบัตรทั้ง 2 ใบเป็นจำนวนคู่ A = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} ตัวอย่างที่ 4.7 ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สีแดง 2 ลูก หยิบลูกบอลออกจากถุง 2 ลูก จงหา 1.แซมเปิลสเปซของสีของลูกบอล และเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว 2.แซมเปิลสเปซของลูกบอลที่หยิบมาได้ และเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลเป็นสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก วิธีทำ 1.เนื่องจากเราสนใจเกี่ยวกับสีของลูกบอล และลูกบอลมีอยู่สองสีคือสีขาวและสีแดง ดังนั้น แซมเปิลสเปซ S={ขาว, แดง} สมมติให้ B เป็นเหตุการณ์ที่จะได้ลูกบอลสีขาว ดังนั้น B = {ขาว} 2.เนื่องจากเราสนใจแซมเปิลสเปซของลูกบอลแต่ละลูกที่ถูกหยิบขึ้นมา ดังนั้นแซมเปิลสเปซ S คือ S={ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2} ให้ C เป็นเหตุการณ์ที่ผลลัพธ์เป็นลูกบอลสีขาว 1 ลูก และ สีแดง 1 ลูก ดังนั้น เหตุการณ์ C คือ C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2} หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง ข้อควรสนใจ 1. เนื่องจากแซมเปิลสเปซ S เป็นเซตของผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมด จากการทดลองสุ่ม ดังนั้น ถ้าเปรียบเทียบกับเรื่องเซตแล้ว แซมเปิลสเปซ S คือ เอกภพสัมพัทธ์ นั่นเอง 2. เนื่องจากเหตุการณ์เป็นสับเซตของแซมเปิลสเปซ S ดังนั้น ถ้าเปรียบกับเรื่องเซตแล้ว เหตุการณ์ ก็คือ เซต A, B, C, ... ซึ่งทุกเซตต่างก็เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์นั้นเอง 3. เราสามารถใช้ความรู้เรื่องเซตมาช่วยในการพิจารณาเกี่ยวกับลักษณะของ เหตุการณ์ต่าง ๆ ได้ดังนี้ ให้ E1 และ E2 เป็นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ E1U E2= หมายถึงเหตุการณ์ที่อยู่ใน E1หรือใน E2 E1 E2หมายถึง เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ที่อยู่ใน E1 และอยู่ใน E2 E1-E2หมายถึง เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ ที่อยู่ใน E1 แต่ไม่อยู่ใน E2 E1' หมายถึง เหตุการณ์ที่ผลลัพธ์อยู่ในแซมเปิลสเปซ S แต่ไม่อยู่ใน E1 ตัวอย่างที่ 4.3ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้ม ของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6 ดังนั้นแซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6}

http://wiki.stjohn.ac.th/groups/poly_ordinarycourse/wiki/4c560/_12_.html

วันที่ 30 เดือนสิงหาคม พ.ศ.2556

เศษส่วนน่ารู้

เศษส่วน

เศษส่วน คือ จำนวนที่มนุษย์สร้างขึ้นเพื่อแทนปริมาณที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม โดยใช้สัญลักษณ์เศษส่วน
ที่เขียนในรูป เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b≠0 เรียก a ว่า  เศษ  เรียก b ว่า  ส่วน
	ตัวเศษ หมายถึง จำนวนส่วนแบ่งที่ต้องการ
	ตัวส่วน หมายถึง จำนวนส่วนแบ่งทั้งหมดที่เท่า ๆ กัน
การแทนเศษส่วนด้วยจุดบนเส้นจำนวน
เศษส่วนสามารถแสดงได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน โดยใน 1 หน่วย ความยาวบนเส้นจำนวน
ให้แบ่งความยาวออกเป็นส่วนๆเท่าๆกันโดยพิจารณาจากตัวเลข "ส่วน" ของเศษส่วนที่กำหนดให้
เช่น
ตัวส่วน  คือ 3 ให้แบ่งความยาว 1 หน่วย ออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆกันดังรูป

http://www.math.rwb.ac.th/sopa1/index5.htm วันที่31 เดือนสิงหาคม 2556

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทปีทาโกรัส

                ถ้าสามเหลี่ยม  ABC  เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  ซึ่งมี  AĈB  เป็นมุมฉาก  ให้  a , b และ c  เป็นความยาวของด้านตรงข้ามมุม  A , B และ C  ตามลำดับ     แล้วจะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉาก  คือ

 

c²  =  a²  +  b²

ทฤษฎีบทปีทาโกรัสในอีกความหมายหนึ่ง

                ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ  พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

บทกลับของทฤษฎีบทปีทาโกรัส

                ถ้า  a , b และ c  เป็นความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC  และ  c²  =  a² + b²   แล้วจะได้ว่าสามเหลี่ยม ABC นี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก  โดยมีด้านยาว  c  หน่วย  เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก

การเปรียบเทียบทฤษฎีบทปีทาโกรัส  กับบทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ข้อความที่เป็นเหตุ              คือ          ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

                                                                c  แทนความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

                                                                a  และ  b  แทนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

ข้อความที่เป็นผล                คือ           c²  =  a² + b²

บทกลับของทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

ข้อความที่เป็นเหตุ              คือ          ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยม  มีด้านยาว a , b และ c หน่วย  และ  c²  =  a² + b²

ข้อความที่เป็นผล                คือ           รูปสามเหลี่ยม ABC  เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก  และมีด้านที่ยาว  c  หน่วยเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก                                                                                                                                                                                                     

http://www.kr.ac.th/ebook/suvantee/b2.htm วันที่ 4 กันยายน 2556